Nous entrons dans l'avenir á reculons.

我們倒行進(jìn)入未來(lái)。

——《Bibliothéque de la Pléiade》

Paul valéry

柏拉圖在他的《理想國(guó)》中，描述了一個(gè)“洞穴隱喻”：

看！人類居住在地下的洞穴中，他們從孩提起一直如此。他們的脖子和腿腳被鎖鏈?zhǔn)`著，所以他們無(wú)法移動(dòng)，也無(wú)法回頭，只能看到前方。在他們的后上方，火在遠(yuǎn)處燃燒，在囚徒和火之間有一條小路，高出地面。如果仔細(xì)觀察，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有一矮墻沿路而建，像表演木偶劇時(shí)位于操控者前方的那塊舞臺(tái)。

洞穴隱喻

在故事中，囚徒們只能通過(guò)觀察洞穴后方的投影來(lái)獲得有限的信息，借此來(lái)認(rèn)識(shí)洞穴外的世界。

事實(shí)上這是一則關(guān)于人類處境的寓言。人們礙于自身閱歷、思維的局限性，只能片面地認(rèn)識(shí)世界。有限的閱歷和思維就像鎖鏈和背后的墻，阻礙了我們真實(shí)地認(rèn)識(shí)世界。由于其他囚徒都處于同樣的困境，互相之間的交流也無(wú)補(bǔ)于事。

同時(shí)，這則故事也反映了反問(wèn)題的一些特點(diǎn)。

如果我們預(yù)先知道被投影的物體是一匹馬，或者是一個(gè)水壺，當(dāng)看到它們的投影時(shí)，我們立即就能辨別出來(lái)。這是一個(gè)常規(guī)的正問(wèn)題，我們預(yù)先知道了原因（馬/水壺），通過(guò)過(guò)程處理（火光的映射），很容易就得到了惟一的結(jié)果（墻上的投影）；然而，若我們僅知道結(jié)果（墻上的投影）和過(guò)程處理（火光的映射），貌似像知道原因就沒(méi)那么容易了。除了是一匹馬，墻上的投影還可能是一雙手。

墻上的投影

僅知道結(jié)果和過(guò)程，反推出原因。這就是典型的反問(wèn)題。

在我國(guó)古代，也有書籍記載過(guò)類似的反問(wèn)題寓言。佛教經(jīng)典《長(zhǎng)阿含經(jīng)》中，提到了為人熟知的“盲人摸象”寓言：

有王告大臣：“汝?duì)恳幌髞?lái)示眾盲者?！薄瓡r(shí)彼眾盲各以手觸，大王即喚眾盲各各問(wèn)言：“象類何物？”觸牙者即言“象形如蘿菔根”；其觸耳者言象“如箕”；其觸頭者言象“如石”；其觸鼻者言象“如杵”；其觸腳者言象“如臼”；其觸脊者言象“如床”；其觸腹者言象“如甕”，其觸尾者言象“如繩”。

如果這些盲者腦海中有大象的概念，恐怕就不會(huì)如此美妙的想象力了。

怎么來(lái)判斷反問(wèn)題是否可以解決呢？

為了能更深入地說(shuō)明反問(wèn)題的可解性，在我們正式進(jìn)入巖土工程的相關(guān)問(wèn)題之前，先來(lái)看一個(gè)情景劇。

五一假期的某天，你青梅竹馬、從小玩到大的好朋友——大錘，請(qǐng)你去他家吃飯。為了顯示熱情好客，大錘親自下廚，為你做菜。

不消一會(huì)工夫，第一道菜上桌了。

第一道菜

朋友懷著滿臉的期待，說(shuō)：“這是不才最近學(xué)會(huì)的新菜式，你猜猜看都用了些啥材料？”

顯然，只要稍有生活常識(shí)，都可以清楚地看出，這是中國(guó)人飯桌上典型的家常菜：西紅柿雞蛋。

同時(shí)，基于其獨(dú)特的烹飪手法（處理過(guò)程），你可以一目了然地看出，原料為西紅柿X2，雞蛋X4（原因）。

（入門級(jí)的反問(wèn)題。一般人在很短時(shí)間內(nèi)，都可以解決這條問(wèn)題）

聽到你的回答后，朋友很滿意。馬上，第二道菜端上來(lái)了。

第二道菜

再一次迎著朋友期待的眼神，這次你陷入了較長(zhǎng)時(shí)間的思索。

這道菜中，面條和布丁X8都不難看出來(lái)。關(guān)鍵是在面條底下，湯里面，是否還有其他材料？在通過(guò)觀察無(wú)果后，可能還需要?jiǎng)邮郑曜樱┤ふ乙幌虏胖懒恕?/p>

（中級(jí)的反問(wèn)題。隨著處理過(guò)程和原因的復(fù)雜性提高，有時(shí)候可能利用需要多種手段才能解決問(wèn)題）

終于，最后一道菜也上來(lái)了。朋友邀你上座共進(jìn)晚餐。

最后一道菜

你徹底懵了。通過(guò)觀察和動(dòng)手，根本找不出有多少種材料。你甚至不知道材料是什么?；蛟S要嘗嘗（根本不想嘗）？

（宗師級(jí)的反問(wèn)題。事實(shí)上，在巖土工程中，大部分的反問(wèn)題均是宗師級(jí)別。原因的變量眾多，各變量在通過(guò)處理過(guò)程后，已經(jīng)變得相輔相成，難解難分。光從結(jié)果入手，甚至很難定量、清晰地去認(rèn)識(shí)原因）

以上的菜系，從明朗到模糊的過(guò)程，其實(shí)就是一個(gè)邊界條件從明朗到模糊的過(guò)程。換句話說(shuō)，反問(wèn)題的可解性，取決于邊界條件的確定性。

以下我們用一個(gè)巖土工程反問(wèn)題成功解決的案例作為說(shuō)明。

19世紀(jì)的中葉，當(dāng)時(shí)作為供水與道路部總監(jiān)（Chief Director for Water and Pavements）的達(dá)西（Henry Darcy）受到委托，開始對(duì)第戎市（Dijon）的公共供水系統(tǒng)的改建計(jì)劃進(jìn)行研究。在此之前，第戎市的水源主要靠地下供水井系統(tǒng)供應(yīng)，但供水能力仍不能滿足需求。

在1856年，針對(duì)此計(jì)劃，達(dá)西寫出了他的不朽名著《第戎市的公共水源》（Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon）.

第戎市的公共水源

在研究報(bào)告中，達(dá)西建立了一套全新的供水系統(tǒng)。新鮮的水源計(jì)劃從約13公里遠(yuǎn)的Rosoir Spring引到第戎市附近的水庫(kù)，通過(guò)2.8萬(wàn)米總長(zhǎng)組成的供水管道輸送至城市的大部分角落。在這些供水管道中，砂被用作過(guò)濾材料形成砂濾裝置，以阻隔水中的多余雜質(zhì)。為了計(jì)算各個(gè)不同長(zhǎng)度管道的水流量，似乎需要清楚地了解這些砂濾裝置的滲透特性。

當(dāng)時(shí)，還沒(méi)有任何流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的理論模型。為了研究這個(gè)問(wèn)題，達(dá)西與他的搭檔Charles Ritter設(shè)計(jì)了一個(gè)測(cè)定水流過(guò)砂子的實(shí)驗(yàn)裝置。

達(dá)西設(shè)計(jì)的砂濾試驗(yàn)裝置

這個(gè)裝置的核心部分是一個(gè)2.5m高，0.35m內(nèi)徑的圓筒，圓筒內(nèi)最多可以填入最多2.5m高的砂。在圓筒的底部，設(shè)置了一個(gè)三腳鋼架，用來(lái)承托圓筒內(nèi)砂的重量。在三角鋼架上面，分別墊有兩塊濾網(wǎng)——孔徑5mm的鋼絲網(wǎng)和孔徑2mm的鋼絲網(wǎng)，這樣，在水流過(guò)砂時(shí)，砂就不會(huì)從底部隨著水一起流出。

水通過(guò)連接在圓筒上方的供水管進(jìn)行供給，在流過(guò)砂子后，最后通過(guò)底部的出水口流出。出水口設(shè)置了一個(gè)水龍頭，這樣就可以控制水的流量了。同時(shí)，在圓筒的上下兩端都設(shè)置了U型的測(cè)壓管，用于觀察水流過(guò)砂子之后的水壓變化。

如果我們預(yù)先知道砂的滲透特性（滲透系數(shù)k）和砂的高度（h），那么從測(cè)壓管中水壓的變化，就可以輕易地得出水在砂中的流動(dòng)速度或水流量。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的正問(wèn)題。

然而，這個(gè)裝置重點(diǎn)是要解決一個(gè)反問(wèn)題：如果我們知道水流速度或水流量的情況下，是否可以通過(guò)水壓變化和砂的高度來(lái)反求砂的滲透特性？

如果有在土力學(xué)中學(xué)過(guò)達(dá)西定律的朋友，可能認(rèn)為這也是小菜一碟?，F(xiàn)在，讓我們先忘記達(dá)西定律10分鐘，一步一步來(lái)跟隨達(dá)西的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，看看這個(gè)反問(wèn)題，是否真的像它看上去那么簡(jiǎn)單。

達(dá)西選擇了來(lái)自法國(guó)索恩河畔（Sa?ne）的石英砂作為砂濾材料，它的顆粒組成如下：

如果按照我國(guó)的勘察規(guī)范，可能是屬于中粗砂的類別。砂的孔隙率為38%，換算可得孔隙比約0.6左右。

第一步要考慮的是怎么填砂。天然的砂樣中，一般會(huì)包含有空氣。如果直接裝填，砂樣中則會(huì)殘留有空氣，水的流動(dòng)則不會(huì)是均勻的。為此，達(dá)西在裝填之前，先將砂與水混合，然后將砂水混合體一起裝填進(jìn)圓筒，這樣就可以盡可能避免砂中殘留有空氣。

達(dá)西先填進(jìn)了約0.6m高的砂樣，開始了測(cè)試試驗(yàn)。

測(cè)試試驗(yàn)的結(jié)果并不如意。

在水壓下，測(cè)壓管中的水位出現(xiàn)了上下振蕩。當(dāng)采用高水壓時(shí)，出現(xiàn)的振蕩更加強(qiáng)烈，甚至沒(méi)有辦法去觀察出一個(gè)平均水位。在這種情況下，沒(méi)有辦法衡量砂的滲透特性，是否和水壓存在相關(guān)關(guān)系。

后來(lái)達(dá)西想了個(gè)辦法：在測(cè)壓管中填入水銀。水銀的密度是水的13.6倍，在U型管中，如果水銀的位置上升了1mm，即相當(dāng)于原來(lái)的水位上升27.2mm。那么，在高水壓的情況下，測(cè)壓管中的水位振蕩就被大大縮小了，平均水位也變得可以觀測(cè)。

在吸取了測(cè)試試驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)后，達(dá)西進(jìn)行了第一次正式試驗(yàn)。砂的高度為0.58m，在逐級(jí)增大的水壓下，測(cè)量每分鐘的水流量變化。

第一次試驗(yàn)結(jié)果

如果我們將平均水壓P與平均流量Q畫在笛卡爾坐標(biāo)軸上，結(jié)果會(huì)是怎樣呢？

第一次試驗(yàn)流量與水壓的關(guān)系

結(jié)果很不錯(cuò)。流量與水壓呈現(xiàn)了很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。這意味著，砂的滲透特性是穩(wěn)定的，它不會(huì)隨著水壓的增大而改變。

在第一次試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，達(dá)西又設(shè)計(jì)了第二次正式試驗(yàn)。這次試驗(yàn)由兩組子試驗(yàn)組成：在砂填料高度在1.14m和1.71m的情況下，繼續(xù)測(cè)試水壓與流量的關(guān)系。這兩個(gè)高度的數(shù)值約為第一次試驗(yàn)的2倍和3倍。

第二次試驗(yàn)結(jié)果

第二次試驗(yàn)流量與水壓的關(guān)系

我們可以發(fā)現(xiàn)，第二次試驗(yàn)同樣地印證了在不同水壓下，砂滲透特性的穩(wěn)定性。不同的是，隨著砂料高度的增加，似乎曲線的斜率似乎在不斷減少。即在同樣的水壓條件下，砂的滲透特性還與過(guò)濾長(zhǎng)度有關(guān)？

為了驗(yàn)證這個(gè)猜想，達(dá)西準(zhǔn)備先將試驗(yàn)中其他的變量條件逐一消除。

首先就是通水持續(xù)時(shí)間。

前兩次試驗(yàn)中，每次通水的時(shí)間都是不統(tǒng)一的，有長(zhǎng)有短。為此，參照第二次試驗(yàn)，達(dá)西又設(shè)計(jì)了第三次試驗(yàn)，砂料的高度同樣是1.70m，只不過(guò)，不同壓下的通水時(shí)間統(tǒng)一為20min.

第三次試驗(yàn)結(jié)果

第三次試驗(yàn)流量與水壓的關(guān)系

通水時(shí)間的影響并不明顯?？梢哉f(shuō)，只要滲流條件達(dá)到了穩(wěn)定，通水時(shí)間長(zhǎng)短并不會(huì)影響砂料的滲透特性。

這樣，變量條件就剩下砂料的高度。

為此，達(dá)西設(shè)置了一個(gè)新的參數(shù)——壓高比I。它是壓力P與高度H的比值。達(dá)西的設(shè)想是，假如砂的滲透特性真的是穩(wěn)定的，那它就應(yīng)該與除了砂成分之外的因素?zé)o關(guān)。現(xiàn)在之所以會(huì)受到砂料高度的影響，是因?yàn)槊看卧囼?yàn)中，水在砂料中流動(dòng)的路徑長(zhǎng)短不一。

我們應(yīng)該把路徑長(zhǎng)短這個(gè)變量因素消除后，再來(lái)看看結(jié)果。

流量與壓高比的關(guān)系

至此，達(dá)西認(rèn)為水流量Q與壓高比I成正比的關(guān)系基本可以實(shí)錘了。

對(duì)于各條曲線間斜率上的稍微差異，達(dá)西則認(rèn)為是由于試驗(yàn)誤差導(dǎo)致的。比如第一次試驗(yàn)中，砂料沒(méi)有洗干凈；第三次試驗(yàn)中，所用的砂料又洗得太干凈了，而且粒徑比之前的試驗(yàn)稍大，等等。

在達(dá)西完成試驗(yàn)過(guò)后，他的搭檔Charles Ritter有了一個(gè)新的想法。在達(dá)西得出的結(jié)論中，雖然進(jìn)行了不同水壓下的試驗(yàn)，但這些水壓都是在自然狀態(tài)下產(chǎn)生的。

比如設(shè)置的水壓是10m，流過(guò)砂料后，就自然變成了1m。但是，如果我們?nèi)藶榈厝タ刂七@些水壓呢？

如果初始設(shè)置的水壓是10m，在流過(guò)砂料后，我們通過(guò)人為加壓的方式，讓水壓從1m上升至5m，達(dá)西得出的定律是否還會(huì)生效呢？

說(shuō)干就干。Ritter在1856年的2月17~18日（應(yīng)該還在過(guò)年），按照他的想法進(jìn)行了第四次補(bǔ)充試驗(yàn)。在試驗(yàn)中，Ritter通過(guò)人為增加或減少的方式改變上下測(cè)壓管的水壓，進(jìn)行了12次的平行對(duì)比試驗(yàn)。

第四次試驗(yàn)結(jié)果

Ritter試驗(yàn)與Darcy試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比

good match.

后來(lái)，平均流量Q和壓高比I就變成了著名的達(dá)西公式中的Q和i：

Q = kiA

其中A是通水的面積，k則是反應(yīng)砂滲透特性的——滲透系數(shù)。

達(dá)西運(yùn)用他的聰明才智，成功地解決了一個(gè)巖土工程中的反問(wèn)題。我們可以看到，即使是簡(jiǎn)單的反問(wèn)題，它的求證也絕不簡(jiǎn)單。達(dá)西公式，是通過(guò)多次試驗(yàn)，步步為營(yíng)，逐項(xiàng)排除干擾因素得出的。

試驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)逐步消除多個(gè)可能的自變量，最終實(shí)現(xiàn)了從第三道菜——第二道菜——第一道菜的轉(zhuǎn)變。

只有問(wèn)題的邊界條件逐步明朗化、具體化，反問(wèn)題的解決才會(huì)出現(xiàn)曙光。那是不是意味著只要有邊界條件，就肯定能解決問(wèn)題呢？下面我們繼續(xù)來(lái)看另外一個(gè)巖土工程的反問(wèn)題求解失敗的案例。

某個(gè)悶熱的午后，驊仔正在對(duì)著一大堆基坑的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)打盹，這段時(shí)間，我需要對(duì)這些數(shù)據(jù)逐一查看，以對(duì)基坑作出評(píng)估。突然間，有一個(gè)念頭進(jìn)入了我的腦海里：

如果我只有基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)水平位移的數(shù)據(jù)，是否可以根據(jù)水平位移反推出土壓力的分布呢？

如果土壓力能被反推出來(lái)，那它在某種程度上就是基于真實(shí)數(shù)據(jù)得出的“真實(shí)”土壓力，會(huì)比朗肯理論算出來(lái)的土壓力更加接近真實(shí)情況。

我同樣不是省油的燈，也是說(shuō)干就干。

首先，我先選取出了一些基于測(cè)斜數(shù)據(jù)的基坑水平位移值。

基坑的水平位移值

基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的深度為19m（+1m~+20m）。然后，我將這19m的長(zhǎng)度從上至下分成了190份單元體，每個(gè)單元體的長(zhǎng)度為0.1m。

現(xiàn)在讓我們假設(shè)圍護(hù)結(jié)構(gòu)的底部的固定的。這時(shí)圍護(hù)結(jié)構(gòu)相當(dāng)于一根底部被固定的懸臂梁。這時(shí)，如果我們?cè)?90份小單元體中，任意選擇其中一個(gè)，施加大小為1的單位力，那么對(duì)于不同位置的小單元體，這個(gè)單位力使圍護(hù)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的水平位移也會(huì)不一樣。

在0m，10m，15m處施加單位力產(chǎn)生的水平位移

可以看出，即使在1個(gè)小單元體中施加作用力，也會(huì)影響到其他189個(gè)小單元體出現(xiàn)水平位移。

現(xiàn)在，我們定義一個(gè)位移參數(shù)K(i,j)。其中i代表單位力作用的位置，j代表受影響的位置。例如，K(2,3)就代表作用在單元體2處的單位力，使得單元體3產(chǎn)生的位移。通過(guò)對(duì)這些參數(shù)集成，我們可以得到一個(gè)二維的矩陣K：

位移影響系數(shù)矩陣K

同樣地，我們可以將真實(shí)的位移也分為190份。我們也可以得到一個(gè)含有190個(gè)元素的一維矩陣Δ：

位移矩陣Δ

接著，我們假設(shè)每個(gè)單元體受到真實(shí)的力為F，則有：

力矩陣F

通過(guò)以上三項(xiàng)，我們可以得到以下等式：

我們假定這是一個(gè)欠定方程，采用最小范數(shù)法進(jìn)行求解：

這樣，不就可以簡(jiǎn)單地成功求解出每個(gè)小單元體真實(shí)的受力了嗎？

懷著興奮地心情，我立即投入到了求解的汪洋大海中。

結(jié)果……是令人失望的。算出來(lái)的反力方向雜亂無(wú)章，有些值大得離譜，有些又小得過(guò)分。這說(shuō)明矩陣[K]并不是滿秩的，求出的[F]有多種可能性。

這說(shuō)明了，對(duì)于這個(gè)基坑反問(wèn)題的求解方法，邊界條件還不足夠。

很明顯，要使反問(wèn)題可解，不僅需要邊界條件，還需要“足夠”。

那還需要哪些邊界條件，才會(huì)令方程變得可解？（反力的分布方向？分布形狀？）

對(duì)于一般的反問(wèn)題，是否存在一個(gè)臨界邊界，在跨越這個(gè)邊界之后，問(wèn)題就會(huì)變得可解？

作為兩條謎題，留給各位思考。

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